% bac2023gen-ce-mars-sujet2-exo3.tex La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural. Il s'agit d'une maison de forme cubique $(ABCDEFGH)$ accolée à un garage de forme cubique $(BIJKLMNO)$ où $L$ est le milieu du segment $[BF]$ et $K$ est le milieu du segment $[BC]$. Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale $(LMNOP)$ de base carrée $LMNO$ et de sommet $P$ positionné sur la façade de la maison. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x={(-45:12.5mm)},y={(30:14mm)},z={(90:10mm)},line join=bevel] \coordinate (A) at (0,0,0) ; \coordinate (B) at (2,0,0) ; \coordinate (C) at (2,2,0) ; \coordinate (D) at (0,2,0) ; \coordinate (E) at (0,0,2) ; \coordinate (F) at (2,0,2) ; \coordinate (G) at (2,2,2) ; \coordinate (H) at (0,2,2) ; \coordinate (L) at (2,0,1) ; \coordinate (K) at (2,1,0) ; \coordinate (I) at (3,0,0) ; \coordinate (M) at (3,0,1) ; \coordinate (J) at (3,1,0) ; \coordinate (N) at (3,1,1) ; \coordinate (O) at (2,1,1) ; \coordinate (P) at (2,{2/3},{4/3}) ; \coordinate (Q) at (2,1.55,0) ; \fill[draw=none,semithick,fill=lightgray!25] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle ; \fill[draw=none,semithick,fill=lightgray!25] (E)--(F)--(G)--(H)--cycle ; \fill[draw=none,semithick,fill=lightgray!25] (B)--(C)--(G)--(F)--cycle ; \fill[draw=none,semithick,fill=lightgray!25] (B)--(L)--(M)--(I)--cycle ; \fill[draw=none,semithick,fill=lightgray!25] (I)--(J)--(N)--(M)--cycle ; \fill[draw=none,semithick,fill=lightgray!75] (L)--(M)--(N)--(O)--(P)--cycle ; \draw[->,>=latex] (A)--(1,0,0) node[pos=0.4,below=2pt,font=\scriptsize] {$\vect{\imath}$} ; \draw[->,>=latex,densely dashed] (A)--(0,1,0) node[midway,above,font=\scriptsize] {$\vect{\jmath}$} ; \draw[->,>=latex] (A)--(0,0,1) node[midway,left,font=\scriptsize] {$\vect{k}$} ; \draw[thick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle ; \draw[thick] (E)--(F)--(G)--(H)--cycle ; \draw[thick] (B)--(F)--(G)--(C) ; \draw[thick,dashed] (B)--(C) (A)--(D)--(H) (D)--(C) (B)--(K)--(J); \draw[thick,gray] (L)--(M)--(N)--(O)--(P)--cycle (P)--(M) (P)--(N) ; \draw[thick,gray,dashed] (L)--(O)--(K) ; \draw[thick] (B)--(I)--(M)--(L)--cycle (Q)--(C)--(G) ; \draw[thick] (I)--(J)--(N)--(M)--cycle ; \draw[->,>=latex,semithick] (A)--(4,0,0) ; \draw[->,>=latex,semithick] (A)--(0,0,3) ; \draw[semithick,gray,densely dashed,] (D)--(0,3.05,0) ; \draw[->,>=latex,semithick] (0,3.05,0)--(0,4.5,0) ; \foreach \point/\pos in {A/left,B/below,C/right,D/above left,E/left,F/above,G/right,H/above,I/below,J/right,K/below,L/left,M/below right,N/above right,O/above,P/above} {\draw (\point) node[font=\scriptsize,\pos] {$\point$} ;} \end{tikzpicture} \end{center} \smallskip On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$ avec $\vect{\imath} = \frac12\vect{AB}$, $\vect{\jmath} = \frac12\vect{AD}$ et $\vect{k} = \frac12\vect{AE}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $H$, $M$ et $N$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HM)$. \end{enumerate} \item L'architecte place le point $P$ à l'intersection de la droite $(HM)$ et du plan $(BCF)$. Montrer que les coordonnées de $P$ sont $\left(2;\frac23;\frac43\right)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer le produit scalaire $\vect{PM}\cdot\vect{PN}$. \item Calculer la distance $PM$. \end{enumerate} On admet que la distance $PN$ est égale à $\frac{\sqrt{11}}{3}$. \begin{enumerate}[resume] \item Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle $\widehat{MPN}$ ne dépasse pas \ang{55}. Le toit pourra-t-il être construit ? \end{enumerate} \item Justifier que les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes. Quel est leur point d'intersection ? \end{enumerate}