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% bac2023gen-ce-mars-sujet2-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,5 ; +\infty[$ par $f(x)=\ln(2x+3)-1$. \smallskip Le but de cet exercice est d'étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :% \[ u_0=0 \text{ et } u_{n+1} = f{\big(u_n\big)} \text{ pour tout entier naturel } n. \] % \textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,5 ; +\infty[$ par $g(x) = f (x) - x$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$. \end{enumerate} On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$. \begin{enumerate}[resume] \item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5 ; +\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, dans l'intervalle $]-0,5 ; +\infty[$, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. \item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B : Étude de la suite \boldmath$\left(u_n\right)$\unboldmath} \medskip On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5 ; +\infty[$. \begin{enumerate} \item Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x \in [-1;\alpha]$ alors $f(x) \in [-1; \alpha]$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : \[ -1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha. \] \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. \end{enumerate} \end{enumerate}
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