% bac2023gen-asie-mars-sujet2-exo1.tex On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante : \begin{center} \begin{tikzpicture}[x={(-19:3cm)},y={(14:4cm)},z={(90:3.8cm)},line join=bevel] \coordinate (A) at (0,0,0) ; \coordinate (B) at (1,0,0) ; \coordinate (C) at (1,1,0) ; \coordinate (D) at (0,1,0) ; \coordinate (E) at (0,0,1) ; \coordinate (F) at (1,0,1) ; \coordinate (G) at (1,1,1) ; \coordinate (H) at (0,1,1) ; \coordinate (K) at (2,0,0) ; \coordinate (L) at (2,1,0) ; \coordinate (M) at (2,1,1) ; \coordinate (J) at (2,0,1) ; \coordinate (I) at ($(E)!0.5!(F)$) ; \draw[semithick,dashed] (D)--(H) (D)--(L) (B)--(C)--(G)--cycle ; \draw[thick,darkgray,dashed,->,>-latex] (A)--(D) ; \draw[thick,darkgray,->,>-latex] (A)--(B) (A)--(E) ; \draw[semithick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle (B)--(K)--(J)--(F)--cycle (K)--(L)--(M)--(J)--cycle (E)--(F)--(G)--(H)--cycle (F)--(J)--(M)--(G)--cycle (B)--(I)--(G); \foreach \point/\pos in {A/below left,B/below,C/above right,D/above left,E/left,F/below left,G/above right,H/above,I/above left,J/below right,K/below,L/right,M/above right} {\draw (\point) node[\pos,font=\large] {$\point$} ;} \end{tikzpicture} \end{center} Le point $I$ est le milieu de $[EF]$. Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$. Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à $\frac{1}{12}$ d'unité de volume. \smallskip On On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[ \mathcal{V}=\frac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}. \] \item Déterminer les coordonnées du point $I$. \item Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$. \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2=0$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$. \item \begin{enumerate} \item La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $P$. Montrer que les coordonnées du point $P$ sont $\left(\dfrac23;\dfrac16;\dfrac56\right)$. \item Calculer la longueur $FP$. \item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $IGB$. \end{enumerate} \end{enumerate}