% bac2023gen-asie-mars-sujet1-exo3.tex Soit $k$ un réel strictement positif. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l'équation $\ln(x)=kx$ de paramètre $k$. \medskip \begin{enumerate} \item \underline{Conjectures graphiques :} \smallskip On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d'équation $y = \ln(x)$, la droite d'équation $y = x$ ainsi que la droite d'équation $y=0,2x$ : % \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-1,xmax=17,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-2,ymax=9,ygrille=1,ygrilles=0.5] \GrilleTikz[Affs=false] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz{1,2,...,16} \AxeyTikz[AffOrigine=false]{-2,-1,...,8} \OrigineTikz \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[very thick,red,samples=250,domain=0.1:\xmax] plot (\x,{ln(\x)}) ; \draw[red] (9,3) node[font=\Large] {$y=\ln(x)$} ; \draw[thick,blue,samples=2,domain=0:\xmax] plot (\x,\x) ; \draw[blue] (5,6.5) node[font=\Large] {$y=x$} ; \draw[thick,CouleurVertForet,samples=2,domain=0:\xmax] plot (\x,{0.2*\x}) ; \draw[CouleurVertForet] (5.5,0.5) node[font=\Large] {$y=0,2x$} ; \end{tikzpicture} \end{center} % À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $\ln(x)=kx$ pour $k = 1$ puis pour $k = 0,2$. \vspace{2.5mm} \item \underline{Étude du cas $k = 1$ :} \smallskip On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $]0;+\infty[$, par : $f(x) = \ln(x)-x$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extrema s'il y en a. Les limites aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues. \item En déduire le nombre de solutions de l'équation $\ln(x)=x$. \vspace{2.5mm} \end{enumerate} \item \underline{Étude du cas général :} \smallskip $k$ est un nombre réel strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x)=\ln(x)-kx$. \smallskip On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant : \begin{center} \begin{tikzpicture}[double distance=2pt] \tkzTabInit{$x$/1,$g(x)$/2}{$0$,$\frac{1}{k}$,$+\infty$} \tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$g\left(\frac{1}{k}\right)$,-/$-\infty$} \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner, en fonction du signe de $g\left(\frac{1}{k}\right)$, le nombre de solutions de l'équation $g(x)= 0$. \item Calculer $g\left(\frac{1}{k}\right)$ en fonction du réel $k$ \item Monter que $g\left(\frac{1}{k}\right) > 0$ équivaut à $\ln(k) < -1$. \item Déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation $\ln(x)=kx$ possède exactement deux solutions. \item Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\ln(x)=kx$. \end{enumerate} \end{enumerate}