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📄 bac2023gen-asie-mars-sujet1-exo2.tex

% bac2023gen-asie-mars-sujet1-exo2.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ qui est représenté en ANNEXE. Dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ on considère les points $M$, $N$ et $P$ de coordonnées : \[ M\left(1;1;\frac34\right) \text{, } N\left(0;\frac12;1\right) \text{, } P\left(1;0;-\frac54\right). \] % Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre $FMNP$. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{MP}$. \item Placer les points $M$, $N$ et $P$ sur la figure donnée en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie. \item Justifier que les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés. Des lors les trois points définissent le plan $(MNP)$. \item \begin{enumerate} \item Calculer le produit scalaire $\vect{MN}\cdot\vect{MP}$, puis en déduire la nature du triangle $MNP$. \item Calculer l'aire du triangle $MNP$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(5;-8;4)$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$. \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est $5x-8y+4z=0$. \end{enumerate} \item On rappelle que le point $F$ a pour coordonnées $F(1;0;1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan $(MNP)$ et passant par le point $F$. \item On note $L$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(MNP)$. Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $L\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$. \item Montrer que $FL=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis puis calculer le volume du tétraèdre $FMNP$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \hspace{5mm}$V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$. \end{enumerate}
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