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%bac2023gen-amsud-septembre-sujet2-exo2.tex Dans un repère orthonormé $\Rijk$ on considère les points : \smallskip \hfill$A(1;1;-4)$, \: $B(2;-1;-3)$, \: $C(0;-1;-1)$ \: et \: $\Omega(1;1;2)$.\hfill~ \begin{enumerate} \item Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$. \item Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x + y + z +2 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$. \item Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$. On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$. \end{enumerate} \item Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $\mathcal{S}$. \smallskip On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : \hspace*{5cm}$\bullet~~K \in \mathcal{P} \cap \mathcal{S}$\\ \hspace*{5cm}$\bullet~~(\Omega K) \perp \mathcal{P}$ \item Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x + y - z - 6 = 0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3;3;0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ au point $K$. \item On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$. Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$. \end{enumerate}
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