%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo4 \textbf{Partie A} \medskip Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = 2u_n \big(1-u_n\big). \] Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\big(u_n\big)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=2x(1-x). \] % \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\intervFF{0}{\dfrac12}$. \item On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$. Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1}$. \item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente. \item Justifier que la limite de la suite $\suiten$ est égale à $\dfrac12$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population. En 2022, cette population compte \num{3000} individus. \smallskip On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année $2022+n$. Ainsi $P_0 = 3$. Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :% \[ P_{n+1} -P_n = P_n \big(1-b\times P_n\big)\text{, où } b \text{est un réel strictement positif.} \] Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus. \begin{enumerate} \item Dans cette question $b = 0$. \begin{enumerate} \item Justifier que la suite $\suiten[P]$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item Déterminer la limite de $\suiten[P]$. \end{enumerate} \item Dans cette question $b = 0,2$. \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$. Calculer $v_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n\big(1-v_n\big)$. \item Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera. \end{enumerate} \end{enumerate}