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%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo3.tex Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points : \smallskip \hfill$A(0;4;16)$, \: $B(0;4;-10)$, \: $C(4;-8;0)$ \: et \: $K(0;4;3)$.\hfill~ \smallskip On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $K$ et de rayon 13 comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$. \item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$. \end{enumerate} \item On admet que la sphère $\mathcal{S}$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive. \begin{enumerate} \item Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12; 0; 0)$. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$. \item Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. \end{enumerate} \item Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$. \emph{On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times \mathcal{B} \times h \] où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.} \end{enumerate}
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