%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo2.tex \begin{enumerate} \item Entre 1998 et 2020, en France \num{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels \num{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \num{4921} ont donné naissance à au moins trois enfants. \begin{enumerate} \item Avec une précision de \num{0,1}\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998--2020. \item Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à \num{0,1}\,\%. \smallskip On considère alors que ce pourcentage est négligeable. \smallskip On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant. \smallskip On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants. \smallskip On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double. \smallskip La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à \num{0,984} et celle d’un accouchement double est alors égale à \num{0,016}. \smallskip Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième. \end{enumerate} \item On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements. On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour. \begin{enumerate} \item Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double. \item Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu’il y a 30\,\% de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille). \smallskip Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à \num{0,49} et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à \num{0,51}. Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né. \smallskip On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ; \item $F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ; \item $F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ». \end{itemize} \emph{On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\overline{A}$ l’évènement contraire de $A$.} \begin{center} \begin{tikzpicture} \def\EspIF{1}\def\EspIN{2.25} \coordinate (RAC) at ({0*\EspIN},{-2*\EspIF}) ; %niveauC \node (C1) at ({3*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_2$} ; \node (C2) at ({3*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ; \node (C3) at ({3*\EspIN},{-2*\EspIF}) {$F_2$} ; \node (C4) at ({3*\EspIN},{-3*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ; \node (C5) at ({3*\EspIN},{-4*\EspIF}) {$F_2$} ; \node (C6) at ({3*\EspIN},{-5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ; %niveauB \node (B1) at ({2*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_1$} ; \node (B2) at ({2*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_1}$} ; \node (B3) at ({2*\EspIN},{-2.5*\EspIF}) {$F_2$} ; \node (B4) at ({2*\EspIN},{-4.5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ; %niveauA \node (A1) at ({1*\EspIN},{-0.5*\EspIF}) {$M$} ; \node (A2) at ({1*\EspIN},{-3.5*\EspIF}) {$\overline{M}$} ; %arêtes \draw[semithick] (RAC)--(A1) (RAC)--(A2) (A1)--(B1) (A1)--(B2) (A2)--(B3) (A2)--(B4) (B1)--(C1) (B2)--(C2) (B3)--(C3) (B3)--(C4) (B4)--(C5) (B4)--(C6) ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessus. \item Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \num{0,31507}. \item Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes. \end{enumerate} \end{enumerate}