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% bac2023gen-amnord-mars-sujet2-exo3.tex Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité 1~cm, on considère les points : \smallskip \hfill$D(3;1;5)$ \quad $E(3;-2;-1)$ \quad $F(-1;2;1)$ \quad $G(3;2;-3)$.\hfill~ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$. \item Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$. \item On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$. Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$. \item Montrer que l'aire du triangle $EFG$ est égale à 12~cm\up{2}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$. \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$. \item On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$. À l'aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la distance $DK$ est égale à 5~cm. \item En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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