% bac2023gen-amnord-mars-sujet2-exo2.tex On étudie un groupe de 3\,000 sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B. \smallskip En 2023, le club A compte 1\,700 membres et le club B en compte 1\,300. \smallskip On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$, où $n$ désigne le rang de l'année à partir de 2023. L'année 2023 correspond au rang 0. On a alors $a_0 = \num{1700}$ et $b_0 = \num{1300}$. \smallskip Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes : \begin{itemize} \item durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ; \item chaque année, 15\,\% des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ; \item chaque année, 10\,\% des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024. \item Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_n$ et $b_n$. \item Montrer que la suite $\suiten[a]$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$ : \[ a_{n+1}=0,75a_n+300. \] \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ \num{1200} \leqslant a_{n+1} \leqslant a_n \leqslant \num{1700}. \] \item En déduire que la suite $\suiten[a]$ converge. \end{enumerate} \item Soit $\suiten[v]$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n - \num{1200}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est géométrique. \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n = 500 \times 0,75^n + \num{1200}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\suiten[a]$. \item Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le programme \textsf{Python} ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de \texttt{n} à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à 1\,280. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} def seuil() : n = 0 A = 1700 while ...... : n = n+1 A = ...... return ...... \end{CodePythonLstAlt} \item Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction \texttt{seuil()}. \end{enumerate} \end{enumerate}