% bac2023gen-amnord-mars-sujet2-exo1.tex \textbf{Partie A} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de \textbf{la fonction dérivée} $\bm{f'}$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,xmin=-6.75,xmax=3.5,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-7.75,ymax=2.75,ygrille=1,ygrilles=0.5] \GrilleTikz[Affs=false] \AxesTikz[Epaisseur=0.75pt,ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[Epaisseur=0.75pt,AffOrigine=false,Police=\scriptsize,HautGrad=2pt]{-6,-5,...,3} \AxeyTikz[Epaisseur=0.75pt,AffOrigine=false,Police=\scriptsize,HautGrad=2pt]{-7,-6,...,2} \OrigineTikz[Decal=0pt,Police=\scriptsize] \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \CourbeTikz[thick,red,samples=250]{(\x*\x-3*\x+1)*exp(\x)}{\xmin:\xmax} \end{tikzpicture} \end{center} Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. Aucune justification n'est demandée. \begin{enumerate} \item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin. \item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ de la \textbf{partie A} est définie sur $\R$ par $f(x) = (x^2-5x+6)\,\e^x$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = (x^2 - 3x + 1)\,e^x$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$. \item D~terminer l'équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \end{enumerate} On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a \mbox{$f''(x) = (x + 1)(x- 2)\,\e^x$}. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$. \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1;2]$, on a $f(x) \leqslant x + 6$. \end{enumerate} \end{enumerate}