% bac2023gen-amnord-mars-sujet1-exo4.tex On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{11}{u_{n}}\right).\] % On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie. \medskip \textbf{Partie A - Étude de la suite} $\bm{\left(u_{n}\right)}$ \medskip \begin{enumerate} \item Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty [$ par : \[f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right).\] % Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite. \item Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Application géométrique} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d'aire 11 dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$. La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$, \[L_{n+1}=\frac{L_{n}+\ell_{n}}{2}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$. \item Établir que pour tout entier naturel $n$, \[\ell_{n}=\frac{11}{L_{n}}.\] \end{enumerate} \item Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la \textbf{partie A}. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_{n}$. \item On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la \textbf{partie B}. \item Voici un script, écrit en langage \textsf{Python}, relatif aux suites étudiées dans cette partie : \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center} def heron(n) : L = 5 ell = 2.2 for i in range(n) : L = (L + ell) / 2 ell = 11 / L return round(ell, 6), round(L, 6) \end{CodePythonLstAlt} On rappelle que la fonction Python \texttt{round(x, k)} renvoie une version arrondie du nombre \texttt{x} avec \texttt{k} décimales. \begin{enumerate} \item Si l'utilisateur tape \texttt{heron(3)} dans une console d'exécution \textsf{Python}, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour \texttt{ell} et \texttt{L} ? \item Donner une interprétation de ces deux valeurs. \end{enumerate} \end{enumerate}