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📄 bac2022gen-poly-septembre-sujet1-exo3.tex

% bac2022gen-poly-septembre-sujet1-exo3.tex \textbf{Partie 1} \medskip Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[g(x) = \dfrac{2 \ln x}{ x}.\] % \begin{enumerate} \item On note $g'$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : \[g'(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x^2}.\] \item On dispose de ce tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ : \begin{center} \begin{tikzpicture}[double distance=4pt] \tkzTabInit{$x$/0.8,$g$/2.4}{$0$,,$\e$,$+\infty$} \tkzTabVar{D-/$-\infty$,R,+/$\dfrac{2}{\e}$,-/$0$} \tkzTabVal{1}{3}{0.5}{1}{$0$} \end{tikzpicture} \end{center} Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau: \begin{enumerate} \item la valeur $\dfrac{2}{\text{e}}$ ; \item les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ; \item les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition. \end{enumerate} \item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \textbf{Partie 2} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par \[f(x) = [\ln (x)]^2.\] % Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$. \item À l'aide de la \textbf{partie 1}, étudier : \begin{enumerate} \item la convexité de la fonction $f$ ; \item les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $\e$. \item En déduire que, pour tout réel $x$ dans $\intervOF{0}{\e}$ : \[[\ln (x)]^2 \geqslant \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.\] \end{enumerate} \end{enumerate}
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