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% bac2022gen-poly-mai-sujet2-exo3.tex Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ \begin{dcases} u_0 = 40 \\ u_{n+1} = 0,008u_n(200-u_n) \end{dcases} \]% où $u_n$ désigne le nombre d'individus au début de l'année $(2021+n)$. \begin{enumerate} \item Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022. \end{enumerate} On considère la fonction $f$ définie sue $\intervFF{0}{100}$ par $f(x)=0,008x(200-x)$. \begin{enumerate}[resume] \item Résoudre dans l'intervalle $\intervFF{0}{100}$ l'équation $f(x)= x$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\intervFF{0}{100}$ et dresser son tableau de variations. \item En remarquant que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : \[ 0 \leqslant u_n \leq slantu_{n+1} \leqslant 100.\] \item En déduire que la suite$\suiten$ est convergente. \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\suiten$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center} def seuil(p) : n = 0 u = 40 while u < p : n = n+1 u = 0.008*u*(200-u) return(n+2021) \end{CodePythonLstAlt} L'exécution de \texttt{seuil(100)} ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3.. \end{enumerate}
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