% bac2022gen-poly-mai-sujet2-exo2.tex Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d'estimer que : % \begin{itemize} \item 20\,\% des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ; \item 2\,\% des casques non contrefaits présentent un défaut de conception; \item 10\,\% des casques contrefaits présentent un défaut de conception. \end{itemize} L'agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants : \begin{itemize} \item $C$ : « le casque est contrefait » ; \item $D$ : « le casque présente un défaut de conception » ; \item $\overline{C}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $C$ et $D$. \end{itemize} Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire. \medskip \textbf{Partie 1} \begin{enumerate} \item Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. \item Démontrer que $P(D)=0,036$. \item Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ? \end{enumerate} \textbf{Partie 2} \medskip On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot. \begin{enumerate} \item Dans cette question, $n=35$. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B} (n;p)$ où $n=35$ et $p=0,036$. \item Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception. \item Calculer $P(X \leqslant 1)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $n$ n'est pas fixé. Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,992$. \end{enumerate}