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% bac2022gen-poly-mai-sujet1-exo4.tex L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère : % \begin{itemize} \item les points $A(2;-1;0)$, $B(1;0;-3)$, $C(6;6;1)$ et $E(1;2;4)$ ; \item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y - z + 4 = 0$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. \item Calculer le produit scalaire $\vect{BA} \cdot \vect{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$. \item En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{ABC}$ arrondie au degré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(ABC)$. \item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point $E$. \item Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $(ABC)$ à à pour coordonnées $\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$. \end{enumerate} \item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base. Calculer l'aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide à $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume. \end{enumerate}
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