% bac2022gen-nouvcal-octobre-sujet2-exo4.tex \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :\[u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}.\] % On peut affirmer que : \smallskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}} (a)~~la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$. &(b)~~la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.\\ (c)~~la suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite. &(d)~~la suite $\left(u_n\right)$ converge. \end{tblr} \begin{center} \decosix \decosix \decosix \end{center} \end{enumerate} Dans les questions 2. et 3., on considère deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ vérifiant la relation : \[w_n = \e^{- 2v_n} + 2.\] % \begin{enumerate}[resume] \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln (a)$. \smallskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}} (a)~~$w_0 = \dfrac{1}{a^2} +2$ &(b)~~$w_0 = \dfrac{1}{a^2 +2}$\\ (c)~~$w_0 = -2a +2$ &(d)~~$w_0 = \dfrac{1}{- 2a} + 2$ \end{tblr} \item On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est : \smallskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}} (a)~~décroissante et majorée par 3. &(b)~~décroissante et minorée par 2.\\ (c)~~croissante et majorée par 3. &(d)~~croissante et minorée par 2. \end{tblr} \item On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie : \[a_0 = 2 \text{ et, pour tout entier naturel }n, \:a_{n+1} = \dfrac13a_n + \dfrac83.\] % Pour tout entier naturel $n$,on a : \smallskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}} (a)~~$a_n = 4 \times \left(\dfrac13\right)^n - 2$ &(b)~~$a_n = - \dfrac{2}{3^n} + 4$\\ (c)~~$a_n = 4 - \left(\dfrac13\right)^n$ &(d)~~$a_n = 2 \times \left(\dfrac13\right)^n + \dfrac{8n}{3}$ \\ \end{tblr} \item On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[b_{n+1} = b_n + \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right).\] % On peut affirmer que : \smallskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}} (a)~~la suite $\left(b_n\right)$ est croissante. &(b)~~la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.\\ (c)~~la suite $\left(b_n\right)$ n'est pas monotone. &(d)~~Le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$. \end{tblr} \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[g(x) = \dfrac{\e^x}{x}.\] % On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet : \smallskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}} (a)~~une asymptote verticale et une asymptote horizontale. &(b)~~une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.\\ (c)~~aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale. &(d)~~aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale. \end{tblr} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x\e^{x^2+1}.\] % Soit $F$ une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a : \smallskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}} (a)~~$F(x) = \dfrac12x^2\e^{x^2+1}$ &(b)~~$F(x) = \left(1 + 2x^2 \right)\e^{x^2+1}$ \\ (c)~~$F(x) = \e^{x^2+1}$ &(d)~~$F(x) = \dfrac12\e^{x^2+1}$ \end{tblr} \end{enumerate}