% bac2022gen-nouvcal-octobre-sujet2-exo1.tex Au basket-bail, il existe deux sortes de tir: \begin{itemize} \item les tirs à deux points. \hspace{4mm}Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s'ils sont réussis. \item les tirs à trois points. \hspace{4mm}Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s'ils sont réussis. \end{itemize} Stéphanie s'entraîne au tir. On dispose des données suivantes : \begin{itemize} \item Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60\,\% sont réussis. \item Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35\,\% sont réussis. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Stéphanie réalise un tir. On considère les évènements suivants : % \begin{itemize} \item[] $D$ : \og Il s'agit d'un tir à deux points \fg. \item[] $R$ : \og le tir est réussi \fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. \item Calculer la probabilité $p\left(\overline{D} \cap R\right)$. \item Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,4125$. \item Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième. \end{enumerate} \item Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis. On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième. \item Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points. On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu'elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$. Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate}