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📄 bac2022gen-nouvcal-octobre-sujet1-exo2.tex

% bac2022gen-nouvcal-octobre-sujet1-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x^3\e^x.\] % On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ puis $u_2$. On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$. \item On considère la fonction \texttt{fonc}, écrite en langage \textsf{Python} ci-dessous. \smallskip On rappelle qu'en langage \textsf{Python}, \texttt{i in range(n)} signifie que \texttt{i} varie de \texttt{0} à \texttt{n-1}. % \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def fonc(n) : u = -1 for i in range(n) : u = u**3 * exp(u) return u \end{CodePythonLstAlt} % Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par \texttt{fonc(2)} arrondie à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x + 3)$. \item Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$-\infty$,$-3$,$+\infty$} \tkzTabVar{+/$0$,-/$- 27\e^{-3}$,+/$+\infty$} \end{tikzpicture} \end{center} \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : \[- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0.\] \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On rappelle que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$. Déterminer $\ell$. Pour cela, on admettra que l'équation $x^2\e^x - 1 = 0$ possède une seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac12$). \end{enumerate} \end{enumerate}
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