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% bac2022gen-nouvcal-octobre-sujet1-exo1.tex On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par \[f(x) = x^2 - 6x + 4\ln (x).\] On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f$' sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. En déduire le tableau de variations de $f$. \end{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervFF{4}{5}$. \item On admet que, pour tout $x$ de $\intervOO{0}{+\infty}$, on a : \[f''(x) = \dfrac{2x^2 - 4}{x^2}.\] \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$. \item On note A le point de coordonnées $\left(\sqrt 2;f\left(\sqrt 2~\right)\right)$. Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t \ne \sqrt 2$. Soit $M$ le point de coordonnées $(t;f(t))$. En utilisant la question 4.a., indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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