% bac2022gen-liban-mai-sujet2-exo4.tex On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\intervOF{0}{1}$ par : \[ f(x)=\e^{-x} + \ln(x). \] % \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $0$. \item On admet que $f$ est dérivable sur $\intervOF{0}{1}$. On note $f'$ sa fonction dérivée. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$, on a : \[ f'(x)=\dfrac{1-x\,\e^{-x}}{x}. \] \item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$, on a $x\,\e^{-x}<1$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\intervOF{0}{1}$. \item Démontrer qu'il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$ tel que $f\big(\ell\big) = \ell$. \end{enumerate} \textbf{\large Partie B} % \begin{enumerate} \item On définit deux suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$ par : \[ \begin{dcases} a_0=\tfrac{1}{10} \\ b_0 = 1 \end{dcases} \text{ et, pour tout entier naturel }n \text{, } \begin{dcases} a_{n+1}=\e^{-b_n} \\ b_{n+1}=\e^{-a_n} \end{dcases}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près. \item On considère ci-dessous la fonction \texttt{termes}, écrite en langage \textsf{Python}. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def termes(n) : a = 1/10 b = 1 for k in range(0,n) : c = ... b = ... a = c return(a,b) \end{CodePythonLstAlt} \end{enumerate} \item Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction \texttt{termes} calcule les termes des suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$. \item On rappelle que la fonction $x \mapsto e^{-x}$ est décroissante sur $\R$. \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1. \]% \item En déduire que les suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$ sont convergentes. \end{enumerate} \item On note $A$ la limite de $\suiten[a]$ et $B$ la limite de $\suiten[b]$. On admet que A et B appartiennent à l'intervalle $\intervOF{0}{1}$,et que $A=\e^{-B}$ et $B=\e^{-A}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f(A) =0$. \item Déterminer $A - B$. \end{enumerate} \end{enumerate}