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% bac2022gen-liban-mai-sujet2-exo2.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1 représenté ci-dessous. \begin{center} \begin{tikzpicture}[line join=bevel] \PaveTikz[Cube,Largeur=6,Aff] \end{tikzpicture} \end{center} On munit l'espace du repère orthonormé $\left( A;\vect{AB};\vect{AC};\vect{AE} \right)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires. \item Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$. \item En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$. \end{enumerate} \item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{ED}$. Déduire de la question 1.(c) qu'une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est :\[y-z=0.\] \item On désigne par $L$ le point de coordonnées $\left(-\frac23;1;0)\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$. \item Déterminer l'intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$. \item Démontrer que le projeté orthogonal de $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées \mbox{$\left(\frac23;\frac12;\frac12\right)$}. \item Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \item Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$. On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}. \] \end{enumerate} \end{enumerate}
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