% bac2022gen-liban-mai-sujet2-exo1.tex \textit{Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{-4}$ près.} \medskip Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes : \begin{itemize} \item 48\,\% des salariés sont des femmes. Parmi elles, $16,5$\,\% exercent une profession de cadre ; \item 52\,\% des salariés sont des hommes. Parmi eux, $21,5$\,\% exercent une profession de cadre. \end{itemize} On choisit une personne au hasard parmi les salariés. On considère les événements suivants : \begin{itemize} \item F : « la personne choisie est une femme »; \item C : « la personne choisie exerce une profession de cadre ». \end{itemize} \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \item Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$. \item Les événements F et C sont-ils indépendants ? Justifier. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l'entreprise permet d'assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés. On rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0,191$. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 1 cadre. \item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés. Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait au moins un cadre au sein de l'échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$ ? \end{enumerate}