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% bac2022gen-liban-mai-sujet1-exo4.tex L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$. \smallskip On considère les points $A(5;0;-1)$, $B(1;4;-1)$, $C(1;0;3)$, $D(5;4;3)$ et $E(10;9;8)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$. Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$. \item Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vect{AB}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est : \[ x-y-1=0.\] \item Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$. \end{enumerate} \item On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x-z-2=0$. \begin{enumerate} \item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants. \item On note la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite est : \[ \begin{dcases} x=2+t \\y=1+t \qquad (t \in \R). \\ z=t \end{dcases} \] \end{enumerate} \item On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y+z-3=0$. Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées. \end{enumerate} Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MS= MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$. On admet que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$. \item En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon. \end{enumerate} \end{enumerate}
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