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% bac2022gen-liban-mai-sujet1-exo3.tex \textbf{\large Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : \[ f(x)=1+x-\e^{0,5x-2}. \] % On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \item Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x)=1+0,5x\left( 2 - \dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x} \times \e^{-2} \right)$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$. \item Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x)<0$ est l'intervalle $]4+2\,\ln(2);+\infty[$. \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4+2\,\ln(2)$ par $f$. \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1;0]$. \end{enumerate} \textbf{\large Partie B} \medskip On considère la suite $\suiten$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, \smallskip \hfill~$u_{n+1}=f\big(u_n\big)$ où $f$ est la fonction définie à la \textbf{partie A}.\hfill~ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.\] \item En déduire que la suite $\suiten$ converge. On notera $\ell$ la limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell=f\big(\ell\big)$. Démontrer que $\ell=4$. \item On considère la fonction \texttt{valeur} écrite ci-contre dans le langage \textsf{Python} : \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def valeur(a) : u = 0 n = 0 while u <= a : u = 1+u-exp(0.5*u-2) n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} L'instruction \texttt{valeur(3.99)} renvoie la valeur \texttt{12}. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}
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