% bac2022gen-liban-mai-sujet1-exo1.tex Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur : \begin{itemize} \item un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ; \item un forfait SÉNIOR pour les autres. \end{itemize} Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques. On admet que : \begin{itemize} \item 20\,\% des skieurs ont un forfait JUNIOR ; \item 80\,\% des skieurs ont un forfait SÉNIOR ; \item parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6\,\% choisissent l'option coupe-file; \item parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, $12,5$\,\% choisissent l'option coupe-file. \end{itemize} On interroge un skieur au hasard et on considère les événements : \begin{itemize} \item J : « le skieur a un forfait JUNIOR » ; \item C : « le skieur choisit l'option coupe-file ». \end{itemize} \hfill~\textit{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}\hfill~ \medskip \textbf{\large Partie A} \begin{enumerate} \item Traduire la situation par un arbre pondéré. \item Calculer la probabilité $P(J \cap C)$. \item Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$. \item Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$. \item Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15\,\% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer. \end{enumerate} \textbf{\large Partie B} \medskip On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$. \smallskip On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard. \smallskip Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. \item Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$. \item Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à $10^{-3}$. \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. \end{enumerate}