% bac2022gen-fr-septembre-sujet2-exo3.tex \textbf{Les parties B et C sont indépendantes} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x) = x - x \ln (x),\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$. \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a : $f'(x) = - \ln (x)$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ et dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $]0;+\infty[$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la \textbf{partie A}. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\begin{dcases} u_0 = 0,5 \\ u_{n+1} = u_n - u_n \ln \big(u_n\big) \:\text{ pour tout entier naturel } n \end{dcases}.\] % Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0,5;1]$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f_k(x) = kx - x \ln (x).\] % \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k = \text{e}^k- 1$. \item Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k = y_k$. \end{enumerate}