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% bac2022gen-fr-septembre-sujet1-exo4.tex Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points \[A(-1;-1;3),\qquad B(1;1;2),\qquad C(1;-1;7).\] % On considère également la droite $\Delta$ passant par les points $D(-1;6;8)$ et $E(11;- 9;2)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique : \[ \begin{dcases} x=-1+4t \\ y = \phantom{-}6 - 5t \text{~~avec } t \in \R. \\ z = \phantom{-}8 - 2t \end{dcases}\] \item Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta'$ parallèle à $\Delta$ et passant par l'origine O du repère. \item Le point F$(1,36;-1,7;-0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta'$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C définissent un plan. \item Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC). \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est: $4x - Sy - 2z + 5 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le point $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$. \item Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$. \item En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt 5$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. \item Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$. \emph{On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule $V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.} \end{enumerate} \end{enumerate}
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