% bac2022gen-fr-septembre-sujet1-exo3.tex \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. % \begin{enumerate} \item Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1;+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x \geqslant 1$, $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$. \item Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/0.8,$f'(x)$/0.8}{$1$,$\e$,$+\infty$} \tkzTabLine{,+,z,-,} \end{tikzpicture} \end{center} \item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$. \end{enumerate} \item Soit $k$ un nombre réel positif ou nul. \begin{enumerate} \item Montrer que, si $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1;\text{e}]$. \item Si $k > \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $[1;+\infty[$ ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.\] % On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : \hfill$u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}$ c'est-à-dire : $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.\hfill~ % \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$. \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $f$ est solution de l'équation : \[\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.\] % \begin{enumerate}[resume] \item En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac14$, où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. \item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate}