% bac2022gen-fr-septembre-sujet1-exo1.tex \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[ g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x +1}.\] La courbe représentative de la fonction $ g$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite d'équation : \medskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[l,m]}}} (a)~~$x = 2$ ; & (b)~~$y = 2$ ; & (c)~~$y = 0$ ; & (d)~~$x = - 1$\\ \end{tblr} \item On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. On appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique. On désigne par $f''$ la dérivée seconde de $f$. On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f''$, notée $\mathcal{C}''$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,xmin=-7,xmax=3,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-6,ymax=4,ygrille=1,ygrilles=0.5] \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[AffGrad=false]{-6,-5,...,2} \AxeyTikz[AffGrad=false]{-5,-4,...,3} \draw (1,-4pt) node[below,font=\small] {1} ; \draw (2,-4pt) node[below,font=\small] {2} ; \draw (0,0) node[below left,font=\small] {0} ; \draw (-1,-4pt) node[below,font=\small] {$-1$} ; \draw (-4pt,1) node[left,font=\small] {1} ; \draw (-5,0.25) node[above left,red,font=\large] {$\mathcal{C}''$} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[very thick,red,samples=250,domain=-7:2.25] plot (\x,{(\x+1)*(\x-2)*exp(\x)}) ; \end{tikzpicture} \end{center} % \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}} (a)~~$\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion ; & (b)~~$f$ est convexe sur l'intervalle $[-1;2 ]$ ; \\ (c)~~$f$ est convexe sur $]-\infty;-1$] et sur $[2;+ \infty[$ ; & (d)~~$f$ est convexe sur $\R$ \\ \end{tblr} \item On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 1$. La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 2$, est : \medskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}} (a)~~arithmétique de raison $- 2$ ; & (b)~~géométrique de raison $- 2$ ; \\ (c)~~arithmétique de raison 1 ; & (d)~~géométrique de raison $\dfrac12$. \\ \end{tblr} \item On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel, on a : \[1 + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}.\] % On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ : \medskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}} (a)~~converge vers 2 ; & (b)~~converge vers 1 ; \\ (c)~~diverge vers $+ \infty$ ; & (d)~~n'a pas de limite. \\ \end{tblr} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln x$. Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est définie par : \medskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}} (a)~~$F(x) = \dfrac13 x^3 \left(\ln x - \dfrac13 \right)$ ; & (b)~~$F(x) = \dfrac13 x^3 (\ln x - 1)$ ; \\ (c)~~$F(x) = \dfrac13 x^2$ ; & (d)~~$F(x) = \dfrac13 x^2 (\ln x - 1)$. \\ \end{tblr} \item Pour tout réel $x$, l’expression $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}$ est égale à : \medskip \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[l,m]}}} (a)~~$\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ; & (b)~~$\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$ ; \\ (c)~~$\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ; & (d)~~$\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$. \\ \end{tblr} \end{enumerate}