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% bac2022gen-fr-mai-sujet2-exo3.tex On considère un cube $ABCDEFGH$ et on appelle $K$ le milieu du segment $[BC]$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[line join=bevel] \PaveTikz[Aff=false,Cube,Largeur=4,Angle=58,Fuite=0.7] \coordinate (K) at ($(B)!0.5!(C)$) ; \draw[draw=none,fill=lightgray!50,opacity=0.66] (E)--(G)--(K)--cycle ; \PaveTikz[Aff,Cube,Largeur=4,Epaisseur={thick},Angle=58,Fuite=0.7] \draw (K) node[below right] {K} ; \draw[thick] (K)--(F) (E)--(G) (G)--(K); \draw[dashed,thick] (K)--(E) ; \end{tikzpicture} \end{center} On se place dans le repère $\left( A\,;\,\vect{AB}\,,\,\vect{AD}\,,\,\vect{AE}\right)$ et on considère le tétraèdre $EFGK$. On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : \[\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h\] où $\mathcal{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base. \begin{enumerate} \item Préciser les coordonnées des points $E$, $F$, $G$ et $K$. \item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(EGK)$. \item Démontrer que le plan $(EGK)$ admet pour équation cartésienne : $2x - 2y + z - 1 = 0$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(EGK)$ passant par $F$. \item Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur le plan $(EGK)$ a pour coordonnées $\left( \frac59;\frac49;\frac79 \right)$. \item Justifier que la longueur $LF$ est égale à $\dfrac23$. \item Calculer l’aire du triangle $EFG$. En déduire que le volume du tétraèdre $EFGK$ est égal à $\dfrac16$. \item Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $EGK$. \item On considère les points $P$ milieu du segment $[EG]$, $M$ milieu du segment $[EK]$ et $N$ milieu du segment $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$. \end{enumerate}
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