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% bac2022gen-ce-mai-sujet2-exo3.tex L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$. On considère les points \[A(3;-2;2) \text{, } B(6;1;5) \text{, } C(6;-2;-1) \text{ et } D(0;4;-1).\]% \emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule :}\[V = \dfrac13 \mathcal{A} \times h\]% \emph{où $\mathcal{A}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur correspondante.} \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est rectangle. \item Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC). \item En déduire le volume du tétraèdre ABCD. \end{enumerate} \item On considère le point $H(5;0;1)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vect{\text{BH}} = \alpha \vect{\text{BC}} + \beta \vect{\text{BD}}$. \item Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). \item En déduire la distance du point A au plan (BCD). \end{enumerate} \item Déduire des questions précédentes l'aire du triangle BCD. \end{enumerate}
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