% bac2022gen-ce-mai-sujet2-exo1.tex \textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.\\ Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n’est demandée.} \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$. On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~$f'(x)=\e^{-x}$&(b)~~$f'(x)=x\,\e^{-x}$\\ (c)~~$f'(x)=(1-x)\e^{-x}$&(d)~~$f'(x)=(1+x)\e^{-x}$ \end{tblr} % \item Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3;1]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f''$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=2cm,y=1cm,xmin=-3.5,xmax=1.5,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-3.5,ymax=3.5,ygrille=1,ygrilles=0.5] \GrilleTikz[Affs=false] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz{-3,-2,-1,1} \AxeyTikz{-3,-2,-1,1,2,3} \draw (0,0) node[below left=2pt] {0} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[very thick,red,domain=-3:1,samples=250] plot (\x,{0.9743*\x*\x*\x + 2.9229*\x*\x - 0.9743*\x - 2.9229}) ; \end{tikzpicture} \end{center} On peut alors affirmer que : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-1;1]$&(b)~~La fonction $f$ est concave sur l'intervalle $[-2;0]$\\ (c)~~La fonction $f'$ est décroissante sur $[-2;0]$&(d)~~La fonction $f'$ admet un maximum en $x=-1$ \end{tblr} % \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3\,\e^{-x^2}$. Une primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~$F(x)=-\frac16 (x^3+1)\e^{-x^2}$&(b)~~$F(x)=-\frac14 x^4\,\e^{-x^2}$\\ (c)~~$F(x)=-\frac12 (x^2+1)\e^{-x^2}$&(d)~~$F(x)=x^2(3-2x^2)\e^{-x^2}$ \end{tblr} % \item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$ ? \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~$-1$&(b)~~$1$\\ (c)~~$+\infty$&(d)~~Elle n'existe pas \end{tblr} % \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x+1}$. La seule primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ telle que $F(0)=1$ est la fonction : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~$x \mapsto 2\,\e^{2x+1}-2\e+1$&(b)~~$x \mapsto \e^{2x+1}-\e$\\ (c)~~$x \mapsto \dfrac12 \e^{2x+1} - \dfrac12 \e+1$&(d)~~$x \mapsto \e^{x^2+x}$ \end{tblr} % \item Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-2;4]$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-2.5,xmax=5.5,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-2,ymax=3,ygrille=1,ygrilles=0.5] \tikzset{courbe/.style={line width=1pt,red,samples=250}} %grilles & axes \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,4} \AxeyTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,2} \draw (0,0) node[below left=2pt,font=\scriptsize] {0} ; \draw (1,0) node[below=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \draw (0,1) node[left=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; %on restreint les fonctions à la fenêtre \draw[very thick,blue,domain=\xmin:\xmax,samples=250] plot (\x,{1/6*\x*\x*\x-1/2*\x*\x+1}) ; \end{tikzpicture} \end{center} Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction $f''$, dérivée seconde de $f$ ? \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~% {\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-2,xmax=4,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-3,ymax=3,ygrille=1,ygrilles=0.5,baseline=(current bounding box.north)] \tikzset{courbe/.style={line width=1pt,red,samples=250}} %grilles & axes \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,4} \AxeyTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,2} \draw (0,0) node[below left=2pt,font=\scriptsize] {0} ; \draw (1,0) node[below=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \draw (0,1) node[left=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; %on restreint les fonctions à la fenêtre \draw[very thick,red,domain=\xmin:\xmax,samples=2] plot (\x,{\x-1}) ; \end{tikzpicture}}% &(b)~~% {\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-2,xmax=4,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-3,ymax=3,ygrille=1,ygrilles=0.5,baseline=(current bounding box.north)] \tikzset{courbe/.style={line width=1pt,red,samples=250}} %grilles & axes \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,4} \AxeyTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,2} \draw (0,0) node[below left=2pt,font=\scriptsize] {0} ; \draw (1,0) node[below=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \draw (0,1) node[left=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; %on restreint les fonctions à la fenêtre \draw[very thick,red,domain=\xmin:\xmax,samples=2] plot (\x,{1-\x}) ; \end{tikzpicture}}% \\ (c)~~% {\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-2,xmax=4,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-3,ymax=3,ygrille=1,ygrilles=0.5,baseline=(current bounding box.north)] \tikzset{courbe/.style={line width=1pt,red,samples=250}} %grilles & axes \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,4} \AxeyTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,2} \draw (0,0) node[below left=2pt,font=\scriptsize] {0} ; \draw (1,0) node[below=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \draw (0,1) node[left=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; %on restreint les fonctions à la fenêtre \draw[very thick,red,domain=\xmin:\xmax,samples=250] plot (\x,{1/3*\x*(\x-2)}) ; \end{tikzpicture}}% &(d)~~% {\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-2,xmax=4,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-3,ymax=3,ygrille=1,ygrilles=0.5,baseline=(current bounding box.north)] \tikzset{courbe/.style={line width=1pt,red,samples=250}} %grilles & axes \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,4} \AxeyTikz[AffGrad=false]{-2,-1,...,2} \draw (0,0) node[below left=2pt,font=\scriptsize] {0} ; \draw (1,0) node[below=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \draw (0,1) node[left=4pt,font=\scriptsize] {1} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; %on restreint les fonctions à la fenêtre \draw[very thick,red,domain=\xmin:\xmax,samples=250] plot (\x,{0.5*(\x-1)*(\x-1)}) ; \end{tikzpicture}}% \end{tblr} \end{enumerate}