% bac2022gen-ce-mai-sujet1-exo3.tex \textbf{Partie A :} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \e^x-x$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$. \item Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation. \item En déduire que : si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$ alors $h(a)-h(b) < 0$. \end{enumerate} \textbf{Partie B :} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $\Rij$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse 0. \end{enumerate} Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}_f$ au voisinage de 0. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}_f$ de même abscisse. \smallskip On s’intéresse aux points d’abscisse $\frac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul. On considère alors la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : \[ u_n = \exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1.\] % \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la limite de la suite $\suiten$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, \[ u_{n+1}-u_n = h \left( \dfrac{1}{n+1}\right) - h\left( \dfrac{1}{n}\right) \]% où $h$ est la fonction définie à la partie \textbf{A}. \item En déduire le sens de variation de la suite $\suiten$. \end{enumerate} \item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $\suiten$. \begin{center} \begin{tikzpicture} %\tabcolwidth{3cm} \tableur[11]{A-B} %colonneA \celtxt*[align=center]{A}{1}{$n$} \celtxt*[align=center]{A}{2}{1} \celtxt*[align=center]{A}{3}{2} \celtxt*[align=center]{A}{4}{3} \celtxt*[align=center]{A}{5}{4} \celtxt*[align=center]{A}{6}{5} \celtxt*[align=center]{A}{7}{6} \celtxt*[align=center]{A}{8}{7} \celtxt*[align=center]{A}{9}{8} \celtxt*[align=center]{A}{10}{9} \celtxt*[align=center]{A}{11}{10} %colonneB \celtxt*[align=center]{B}{1}{$v_n$} \celtxt*[align=center]{B}{2}{0,718281828} \celtxt*[align=center]{B}{3}{0,148721271} \celtxt*[align=center]{B}{4}{0,062279092} \celtxt*[align=center]{B}{5}{0,034025417} \celtxt*[align=center]{B}{6}{0,021402758} \celtxt*[align=center]{B}{7}{0,014693746} \celtxt*[align=center]{B}{8}{0,010707852} \celtxt*[align=center]{B}{9}{0,008148453} \celtxt*[align=center]{B}{10}{0,006407958} \celtxt*[align=center]{B}{11}{0,005170918} \end{tikzpicture} \end{center} % Donner la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ pour laquelle l’écart entre $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$. \end{enumerate}