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% bac2022gen-ce-mai-sujet1-exo2.tex Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points : \smallskip \hfill{}$A(2;0;3)$, $B(0;2;1)$, $C(-1;-1;2)$ et $D(3;-3;-1)$.\hfill~ \begin{enumerate} \item \textbf{Calcul d’un angle} \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. \item Calculer les longueurs AB et AC. \item À l’aide du produit scalaire $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$, déterminer la valeur du cosinus de l’angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d’une aire} \begin{enumerate} \item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$ passant par le point C et perpendiculaire à la droite $(AB)$. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$. \item En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite $(AB)$, c'est-à-dire du point d’intersection de la droite $(AB)$ et du plan $\mathcal{P}$. \item Calculer l’aire du triangle $ABC$. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d’un volume} \begin{enumerate} \item Soit le point $F(1;-1;3)$. Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires. \item Vérifier que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$. \item Sachant que le volume d’un tétraèdre est égal au tiers de l’aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate}
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