% bac2022gen-ce-mai-sujet1-exo1.tex \textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.\\ Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n’est demandée.} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\ln\big(1+x^2\big)$. Sur $\R$, l'équation $f(x)=2022$ : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~n'admet aucune solution&(b)~~admet exactement une solution \\ (c)~~admet exactement deux solutions&(d)~~admet une infinité de solutions \end{tblr} % \item Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : $g(x) =x\,\ln(x)-x$. On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~La fonction $g$ est convexe sur $]0;+\infty[$&(b)~~La fonction $g$ est concave sur $]0;+\infty[$\\ (c)~~La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement un point d'inflexion sur $]0;+\infty[$&(d)~~La courbe $\mathcal{C}_g$ admet exactement deux points d'inflexion sur $]0;+\infty[$ \end{tblr} % \item On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;1[$ par $f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}$. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]-1;1[$ par : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~$g(x)=-\frac12 \ln\big(1-x^2\big)$&(b)~~$g(x)=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$\\ (c)~~$g(x)=\frac{x^2}{2\big(x-\tfrac{x^3}{3}\big)^2}$&(d)~~$g(x)=\frac{x^2}{2} \ln\big(1-x^2\big)$ \end{tblr} % \item La fonction $x \mapsto \ln(-x^2-x+6)$ est définie sur : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~$]-3;2[$&(b)~~$]-\infty;6[$\\ (c)~~$]0;+\infty[$&(d)~~$]2;+\infty[$ \end{tblr} % \item On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5;+\infty[$ par $f(x)=x^2-4x+3\,\ln(2x-1)$. Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse 1 est : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)~~$y=4x-7$&(b)~~$y=2x-4$\\ (c)~~$y=-3(x-1)+4$&(d)~~$y=2x-1$ \end{tblr} % \item L’ensemble $\mathcal{S}$ des solutions dans $\R$ de l’inéquation $\ln(x +3) < 2\,\ln(x +1)$ est : \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}} (a)$\mathcal{S}= ]-\infty;-2[ \cup ]1;+\infty[$&(b)~~$\mathcal{S}=]1;+\infty[$\\ (c)~~$\mathcal{S}=\varnothing$&(d)~~$\mathcal{S}=]-1;1[$ \end{tblr} \end{enumerate}