% bac2022gen-asie-mai-sujet2-exo3.tex \hfill~\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}\hfill~. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport. S'il prend le bus de $8$~h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol. Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport. Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$. S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport. \smallskip On notera : \begin{itemize} \item $B$ l'évènement: \og Julien réussit à prendre son bus \fg ; \item $V$ l'évènement: \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $P_B(V)$. \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \item Montrer que $P(V) = 0,6$. \item Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier. \end{enumerate} \textbf{Partie 2} \medskip Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. On appelle cette pratique le surbooking. Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5\,\% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement. Considérons un vol dans un avion de $200$~places pour lequel $206$~billets ont été vendus. On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ? \item Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. \item Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros. Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé. On appelle : \begin{itemize} \item $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu'ayant acheté un billet; \item $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol. \end{itemize} On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $y_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $P\left(Y = y_i\right)$ &\num{0,94775}&\num{0,03063}&\num{0,01441}&\num{0,00539}&\num{0,00151}&\num{0,00028}& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$. \item Justifier que: $C = \num{51500} - 850Y$. \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près. \item Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking. \end{enumerate} \end{enumerate}