% bac2022gen-asie-mai-sujet2-exo2.tex \textbf{Partie A} \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,xmin=-4,xmax=15,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-5,ymax=8,ygrille=1,ygrilles=0.5] \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[Police=\footnotesize]{-4,-3,...,14} \AxeyTikz[Police=\footnotesize]{-5,-4,...,7} \draw[red] (3.1,7.7) node[right,font=\large] {$\mathcal{C}_2$} ; \draw[blue] (3.1,-4) node[right,font=\large] {$\mathcal{C}_1$} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[very thick,red,dashed,domain=3.1:15.5,samples=500] plot (\x,{(2*\x-1)/(\x*\x-\x-6)}) ; \draw[very thick,blue,domain=3.001:15.5,samples=500] plot (\x,{ln(\x*\x-\x-6)}) ; \end{tikzpicture} \end{center} Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d'une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f'$, toutes deux définies sur $]3;+\infty[$. \begin{enumerate} \item Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente. Justifier. \item Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation $f(x) = 3$. \item Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Justifier que la quantité $\ln \left(x^2- x- 6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l'intervalle $]3;+\infty[$, que l'on nommera $I$ dans la suite. \item On admet que la fonction $f$ de la \textbf{Partie A} est définie par $f(x) = \ln \left(x^2- x- 6\right)$ sur $I$. Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l'intervalle $I$. En déduire une équation d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]5;6[$. \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $f''(x) = \dfrac{- 2x^2 + 2x - 13}{\left(x^2 - x - 6\right)^2}$. \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$. \end{enumerate} \end{enumerate}