% bac2022gen-asie-mai-sujet1-exo4.tex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points $A(1;3)$ et $B(3;5)$. On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,xmin=-7,xmax=8,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-2,ymax=6,ygrille=1,ygrilles=0.5] \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[Police=\footnotesize]{-7,-6,...,7} \AxeyTikz[Police=\footnotesize]{-2,-1,...,5} \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[line width=1.25pt,red,domain=\xmin:\xmax,samples=250] plot (\x,{ln(\x*\x+1)+3-ln(2)}) ; \draw[red] (-5.5,5.75) node[below,font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ; \draw[line width=1.25pt,domain=\xmin:\xmax,samples=2,dashed] plot (\x,{\x+2}) ; \draw[fill=black] (1,3) circle[radius=1.75pt] node[below right] {$A$} (3,5) circle[radius=1.75pt] node[above left] {$B$} ; \end{tikzpicture} \end{center} \emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. \item La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs. \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $f'(x)$. \item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).\] % \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une fonction paire. \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Déterminer l'expression de $f'(x)$. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. \item À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions. \item Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln (2)$. \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2)$. \begin{enumerate} \item Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$. \item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. \end{enumerate} \newpage \section*{ANNEXE à rendre avec la copie} \begin{center} \begin{tikzpicture}[x={(-15:0.75cm)},y={(10:0.9cm)},z={(90:1cm)},line join=bevel,scale=1.5] \coordinate (A) at (0,0,0) ; \draw (A) node[below left] {$A$} ; \coordinate (B) at (3,0,0) ; \draw (B) node[below] {$B$} ; \coordinate (C) at (3,3,0) ; \draw (C) node[right] {$C$} ; \coordinate (D) at (0,3,0) ; \draw (D) node[below] {$D$} ; \coordinate (E) at (0,0,3) ; \draw (E) node[left] {$E$} ; \coordinate (F) at (3,0,3) ; \draw (F) node[above] {$F$} ; \coordinate (G) at (3,3,3) ; \draw (G) node[right] {$G$} ; \coordinate (H) at (0,3,3) ; \draw (H) node[above] {$H$} ; \draw[semithick,dashed] (A)--(D)--(H) (D)--(C) ; \draw[semithick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle (B)--(C)--(G)--(F) (G)--(H)--(E) ; \draw[thick,->,>=latex] (A)--++(1,0,0) node[midway,below] {$\vect{\imath}$} ; \draw[thick,->,>=latex] (A)--++(0,1,0) node[midway,above] {$\vect{\jmath}$} ; \draw[thick,->,>=latex] (A)--++(0,0,1) node[midway,left] {$\vect{k}$} ; \end{tikzpicture} \end{center}