% bac2022gen-asie-mai-sujet1-exo2.tex Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse. \bigskip \textbf{Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse} \medskip Après une première injection de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion. On estime que, toutes les $30$~minutes, l'organisme du patient élimine 10\,\% de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse. On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant : pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$. \begin{enumerate} \item Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure. \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$. \item \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1} < 5$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le script écrit en langage \textsf{Python} suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def efficace() : u = 1 n = 0 while ...... : u = ...... n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} \item Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5 - u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$. \item Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg. D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse} \medskip Après une injection initiale de $1$~mg de médicament, le patient est placé sous perfusion. Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure. La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$, définie sur $[0;+\infty[$, par \[f(t) = 2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2t},\]% % où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure. On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$~mg. \begin{enumerate} \item Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3~h 45~min ? \item Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace. \item Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4.(b) du modèle discret de la \textbf{Partie A}. \end{enumerate}