% bac2022gen-amsud-septembre-sujet2-exo4.tex Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points $A(0;8;6)$, $B(6;4;4)$ et $C(2;4;0)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x={(-135:0.4cm)},y={(0:0.5cm)},z={(90:0.45cm)},line join=bevel] \coordinate (O) at (0,0,0) ; \draw (O) node[below] {$O$} ; \coordinate (A) at (0,8,6) ; \draw (A) node[above right] {$A$} ; \coordinate (B) at (6,4,4) ; \draw (B) node[above] {$B$} ; \coordinate (C) at (2,4,0) ; \draw (C) node[below right] {$C$} ; \draw[thick,->,>=latex] (O)--++(6.5,0,0) node[left,font=\footnotesize] {$x$} ; \foreach \x in {1,2,...,6} \draw (\x,0,0) node[font=\tiny] {$\textbackslash$} ; \foreach \y in {1,2,...,9} \draw (0,\y,0) node[font=\tiny] {$|$} ; \foreach \z in {1,2,...,6} \draw (0,0,\z) node[font=\tiny] {$-$} ; \draw[thick,->,>=latex] (O)--++(0,9.5,0) node[below,font=\footnotesize] {$y$} ; \draw[thick,->,>=latex] (O)--++(0,0,7) node[left,font=\footnotesize] {$z$} ; \draw[semithick,fill=lightgray] (A)--(B)--(C)--cycle ; \draw[semithick,densely dashed] (0,0,6)--(A)--(0,8,0) ; \draw[semithick,densely dashed] (0,0,4)--(6,0,4)--(B)--(0,4,4)--cycle ; \draw[semithick,densely dashed] (6,0,4)--(6,0,0)--(6,4,0)--(B) ; \draw[semithick,densely dashed] (6,4,0)--(0,4,0)--(0,4,4)--(0,0,4) ; \draw[semithick,densely dashed] (C)--(2,0,0) ; \draw[semithick,->,>=latex] (O)--++(1,0,0) ; \draw[semithick,->,>=latex] (O)--++(0,1,0) ; \draw[semithick,->,>=latex] (O)--++(0,0,1) ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1;2;-1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$. \end{enumerate} \item Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0;0;6)$ et $(6;6;0)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$. \item Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$. \end{enumerate} \item On considère le triangle $ABC$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle $ABC$. \item Calculer l'aire du triangle $ABC$ en unité d'aire. \item Calculer $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$. \item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie à $0,1$ degré. \end{enumerate} \item On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac53;\dfrac{10}{3};\dfrac53\right)$. Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$. En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$. \end{enumerate}