% bac2022gen-amsud-septembre-sujet1-exo4.tex Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que $AB=5$, $AD=3$ et $AE=2$. L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont respectivement pour coordonnées $(5;0;0)$, $(0;3;0)$ et $(0;0;2)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[line join=bevel] \PaveTikz[Aff,Largeur=7,Profondeur=3,Hauteur=2.8,Angle=43] \coordinate (M) at ($(H)!0.22!(G)$) ; \draw (M) node[above] {$M$} ; \draw[dotted,thick] (A)--(M)--(C)--cycle ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points $H$ et $G$. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(GH)$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point du segment $[GH]$ tel que $\vect{HM} =k\vect{HG}$ avec $k$ un nombre réel de l'intervalle $[0;1]$. \begin{enumerate} \item Justifier que les coordonnées de $M$ sont $(5k;3;2)$. \item En déduire que $\vect{AM} \cdot \vect{CM} = 25k^2 - 25k + 4$. \item Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $AMC$ est un triangle rectangle en $M$. \end{enumerate} \end{enumerate} Dans toute la suite de l'exercice, on considère que le point $M$ a pour coordonnées $(1;3;2)$. On admet que le triangle $AMC$ est rectangle en $M$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\dfrac13 \times\text{Aire de la base} \times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base. \begin{enumerate}[resume] \item On considère le point $K$ de coordonnées $(1;3;0)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ACD)$. \item Justifier que le point K est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$. \item En déduire le volume du tétraèdre $MACD$. \end{enumerate} \item On note $P$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AMC)$. Calculer la distance $DP$ ; en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$. \end{enumerate}