% bac2022gen-amsud-septembre-sujet1-exo3.tex Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par \[g(x) = 1+ x^2[1 - 2 \ln (x)].\] La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $g(\e)$ est strictement négatif. \item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$, $g'(x) = -4x \ln (x)$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[1;+\infty[$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ \end{enumerate} \item Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1;+\infty[$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item On admet que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1;\alpha]$, $g''(x) = - 4[\ln (x) + 1]$. Justifier que la fonction $g$ est concave sur l'intervalle $[1;\alpha]$. \end{enumerate} \begin{wrapstuff}[r,leftsep=1.5em,rightsep=1em] \begin{tikzpicture}[x=1.3cm,y=1.3cm,xmin=0,xmax=3,ymin=0,ymax=3] \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz{0,1,2} \AxeyTikz{0,1,2} \draw[samples=250,very thick,red,domain=1:1.9] plot (\x,{1+\x*\x-2*\x*\x*ln(\x)}) ; \draw (1,2) node[above left,red,font=\large] {$A$} ; \draw (1.9,0) node[above right,red,font=\large] {$B$} ; \draw (1.9,0.05) node[below,font=\large] {$\alpha$} ; \draw (1.5,1.5) node[above right,red,font=\large] {$\mathcal{C}$} ; \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} % Sur la figure ci-contre, $A$ et $B$ sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 1 et $\alpha$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$. \item En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1;\alpha]$, on a : \smallskip \hfill$g(x) \geqslant \dfrac{- 2}{\alpha - 1} x + \dfrac{2\alpha}{\alpha - 1}$.\hfill~ \vspace{3cm} \end{enumerate} \end{enumerate}