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% bac2022gen-amsud-septembre-sujet1-exo2.tex Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac15 u_n^2$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage \textsf{Python}. Cette fonction est nommée \texttt{suite\_u} et prend pour paramètre l'entier naturel \texttt{p}. Elle renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $\left(u_n\right)$. \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center} def suite_u(p) : u = ... for i in range(1,...) : u = ... return u \end{CodePythonLstAlt} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 4$. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie l'égalité $\ell = \dfrac15 \ell^2$. \item En déduire la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln \left(u_n\right)$ et $w_n = v_n - \ln (5)$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n - \ln (5)$. \item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 2. \item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que : \hfill$v_n = \ln \left(\dfrac45 \right) \times 2^n + \ln (5)$.\hfill~ \end{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n$ et retrouver $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$. \end{enumerate}
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