% bac2022gen-amnord-mai-sujet2-exo2.tex \textbf{Partie A} \medskip Soit $p$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3;4]$ par : \[p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\]% % \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l'intervalle $[-3;4]$. \item Justifier que l'équation $p(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[-3;4]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$. \item Déterminer une valeur approchée du réel $\alpha$ au dixième près. \item Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l'intervalle $[-3;4]$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3;4]$ par : \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x^2}.\]% % On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-3;4]$. \item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1. \end{enumerate} \item Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe $\mathcal{C}_f$ comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion. \medskip \hfill~\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-4,xmax=4,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-0,ymax=4,ygrille=1,ygrilles=0.5,line join=bevel] \GrilleTikz \AxesTikz \AxexTikz[Police=\small]{-4,-3,...,3} \AxeyTikz[Police=\small]{1,2,3} \draw[very thick,blue,samples=250,domain=\xmin:\xmax] plot (\x,{exp(\x)/(\x*\x+1)}) ; \draw[blue] (2.5,2.5) node[font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ; \draw (0,-1.25) node {Représentation de la courbe $\mathcal{C}_f$} ; %\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \end{tikzpicture} \hfill~ \begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-4,xmax=4,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-0,ymax=4,ygrille=1,ygrilles=0.5,line join=bevel] \fill [draw=black,very thick,fill=lightgray] (-4,0) -- plot[samples=250,domain=-4:4] (\x,{exp(\x)/(\x*\x+1)}) -- (4,0) -- cycle; \draw[very thick] (-4,0) --++ (-0.66,0.788) ; \draw[very thick] (4,3.212) --++ (-0.66,0.788) ; \begin{scope}[shift={(-0.66,0.788)}] \draw[very thick,samples=250,domain=\xmin:\xmax] plot (\x,{exp(\x)/(\x*\x+1)}) ; \end{scope} \draw (0,-1.25) node {Vue de profil du toboggan} ; \end{tikzpicture} \hfill~ \begin{enumerate} \item D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter. \item On admet que la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, a pour expression pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3;4]$ : \[f''(x) = \dfrac{p(x)(x - 1)\text{e}^x}{\left(1 + x^2\right)^3}\]% où $p$ est la fonction définie dans la \textbf{partie A}. En utilisant l'expression précédente de $f''$, répondre à la question : \og le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? \fg. Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate}