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% bac2022gen-amnord-mai-sujet1-exo2.tex Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par : \[T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel }n \text{, }T_{n+1} = 0,9555T_n + 0,9.\]% % \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $T_n > 20$. \item Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} - T_n = - 0,045\left(T_n - 20\right)$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(T_n\right)$. \item Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = T_n - 20$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 20 + 160 \times 0,955^n$. \item Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$. \item Résoudre l'inéquation $T_n < 120$ d'inconnue $n$ entier naturel. \end{enumerate} \item Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180\textdegree$ C et celle de l'air ambiant de $20\textdegree$ C. La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, $n$ minutes après sa sortie du four. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2.(c) était prévisible dans le contexte de l'exercice. \item On considère la fonction \textsf{Python} ci-dessous : \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def temp(X) : T = 180 n = 0 while T > X : T = 0.955*T + 0.9 n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} Donner le résultat obtenu en exécutant la commande \texttt{temp(120)}. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}
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