% bac2021gen-poly-juin-sujet2-exo5.tex Cet exercice est composé de deux parties. \medskip Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième. \medskip \textbf{Partie 1 : Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;4]$ par : \[f(x) = - 30x + 50 + 35\ln (x).\] \begin{enumerate} \item On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[1;4]$, montrer que : \[f'(x) = \dfrac{35- 30x}{x}.\] \item Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1;4]$. \item En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle. \end{enumerate} \item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[1;4]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. \item Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in [1;4]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2 : Optimisation} \medskip Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l'intervalle $[1;4]$, l'analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l'expression donnée en milliers d'euros par : \[B(x) = - 15x^2 + 15x +35x \ln (x).\] \begin{enumerate} \item D'après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l'entreprise lorsqu'elle vend \num{2500}~litres de jus de fruits. On donnera une valeur approchée à l'euro près de ce bénéfice. \item Pour tout $x$ de l'intervalle $[1;4]$, montrer que $B'(x) = f(x)$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$. \item \begin{enumerate} \item À l'aide des résultats de la \textbf{partie 1}, donner les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[1;4]$. \item En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l'entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal. \end{enumerate} \end{enumerate}