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% bac2021gen-poly-juin-sujet2-exo2.tex Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays. Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7\,\% des habitants sont infectés par cette maladie. Parmi les individus infectés, 20\,\% sont déclarés négatifs. Parmi les individus sains, 1\,\% sont déclarés positifs. Une personne est choisie au hasard dans la population. On note : \begin{itemize} \item $M$ l’évènement : « la personne est infectée par la maladie » ; \item $T$ l’évènement : « le test est positif ». \end{itemize} \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ? \item Montrer que la probabilité que son test soit positif est de \num{0,0653}. \end{enumerate} \item On sait que le test de la personne choisie est positif. Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ? On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près. \item On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres. \item Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99\,\%. \end{enumerate}
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