🥨 Code source LaTeX par exercice

🔎

📄 Fichier : bac2021gen-fr-septembre-sujet2-exo4.tex

↩ Retour 💾 Télécharger

📄 bac2021gen-fr-septembre-sujet2-exo4.tex

% bac2021gen-fr-septembre-sujet2-exo4.tex On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par : \[u_0 = 16 \quad ;\quad v_0 = 5 ;\] et pour tout entier naturel $n$ : % \renewcommand\arraystretch{2} \[\begin{dcases} u_{n+1}=\dfrac{3u_n + 2v_n}{5}\\ v_{n+1}=\dfrac{u_n + v_n}{2} \end{dcases}\] \renewcommand\arraystretch{1} \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $v_1$. \item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n - v_n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,1$. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $w_n$ en fonction de $n$. \item Préciser le signe de la suite $\left(w_n\right)$ et la limite de cette suite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = - 0,4 w_n$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu'on a alors : pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant v_0 = 5$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant 5$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} % On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. On admet ce résultat, et on appelle $\ell'$ la limite de $\left(v_n\right)$. % \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $\ell = \ell'$. \item On considère la suite $\left(c_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $c_n = 5u_n + 4v_n$. Démontrer que la suite $\left(c_n\right)$ est constante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = c_n$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $c_n = 100$. \item Déterminer la valeur commune des limites $\ell$ et $\ell'$. \end{enumerate} \end{enumerate}
✓ Code copié dans le presse-papier !